MAKALAH
MATRIKS DAN OPERASINYA
Diajukan untuk memenuhi tugas mata kuliah Aljabar Linear

Disusun oleh :

Renita Febiola                                      132151110
Tia Andriani Kurniawan                        132151107
Yuning Destrilawati                               132151112
Risma Rosyani                          132151113

Kelas 2013-D

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SILIWANGI
2015

Kata pengantar

Assalamu’alaikumWr. Wb.

Segala puji bagi Allah yang telah memberikan kami kemudahan sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.Makalah ini disusun agar pembaca dapat memperluasi lmu tentang "Matriks", yang kami sajikan berdasarkan pengamatan dari berbagai sumber.Makalah ini di susun oleh penyusun dengan berbagai rintangan. Baik itu yang dating dari diri penyusun maupun yang dating dari luar.Namun dengan penuh kesabaran dan terutama pertolongan dari Allah SWT akhirnya makalah ini dapat terselesaikan.

Penyusun mengucapkan terimakasih kepada pihak-pihak yang telah membantu dan mendukung pembuatan makalah ini.Dan kami juga memohon maaf jika makalah ini masih banyak kekurangan atau jauh dari kesempurnaan karna pengetahuan kami yang masih terbatas.Maka dari itu kami mohon kritik dan saran yang membangun dari pembaca.Semoga makalah ini dapat memberikan pengetahuan yang lebih luas kepada pembaca.Terimakasih

Tasikmalaya, 15 September 2015

Penyusun

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Dalam kehidupan sehari-hari kita sering berhadapan dengan persoalan yang apabila kita telusuri ternyata merupakan masalah matematika. Dengan mengubahnya kedalam bahasa atau persamaan matematika maka persoalan tersebut lebih mudah diselesaikan. Tetapi terkadang suatu persoalan sering kali memuat lebih dari dua persamaan dan beberapa variabel, sehingga kita mengalami kesulitan untuk mencari hubungan antara variabel-variabelnya. Bahkan dinegara maju sering ditemukan model ekonomi yang harus memecahkan suatu sistem persamaan dengan puluhan atau ratusan variabel yang nilainya harus ditentukan.

Matriks, pada dasarnya merupakan suatu alat atau instrumen yang cukup ampuh untuk memecahkan persoalan tersebut. Dengan menggunakan matriks memudahkan kita untuk membuat analisa-analisa yang mencakup hubungan variabel-variabel dari suatu persoalan. Pada awalnya matrik ditemukan dalam sebuah studi yang dilakukan oleh seorang ilmuan yang berasal dari Inggris yang bernama Arthur Cayley (1821-1895) yang mana studi yang dilakukan untuk meneliti persamaan linier dan transformasi linear, awal dari semua ini matrik dianggap sebagai sebuah permainan karena matrik dapat diaplikasikan, sedangkan pada tahun 1925 matrik digunakan sebagai kuantum dan pada perkembangannya matrik digunakan dalam berbagai bidang.

B. Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian di atas kami merumuskan masalah sebagai berikut :

1. Apa definisi dari matriks?

2. Apa saja jenis-jenis matriks?

3. Apa itu transpose matriks dan kesaamaan matriks?

4. Bagaimana operasi aljabar pada matriks?

5. Apa itu invers matriks dan determinan matriks?

C. Tujuan masalah

Tujuan pembuatan makalah ini adalah sebagai berikut ::

1. Memenuhi tugas mata kuliah aljabar linear.

2. Sebagai referensi untuk menambah wawasan dan pengetahuan mengenai matriks.

3. Sebagai sarana belajar mempelajari matriks bagi teman-teman SMA ataupun mahasiswa.

BAB II
PEMBAHASAN

A. Pengertian Matriks

Matriks adalah sususnan dari bilangan-bilangan yang dibatasi tanda kurung yang berbentuk persegi panjang dan disusun menurut baris dan kolom. Bilangan-bilangan yang menyusun baris ataupun kolom dari suatumatriks disebut elemn-elemen dari matriks.

Penamaan suatu matriks biasa menggunakan huruf kapital, perhatikan ilustrasi berikut

Keterangan :

adalah elemen pada baris ke 1 dan olom ke 2

disebut elemen penyusun baris

disebut elemenpenyusun kolom ke2

adalah elemen baris ke-i dan kolom ke-j dengan

dan

Suatu matriks A yang mempunyai m baris dan n kolom disebut matriks berordo mxn dan diberi ntasi

Contoh :

1. Diketahui matriks

. Tentukan ordo dan elemen penyusun baris kedua!

Penyelesaian :

Matriks A memiliki baris 2 dan kolom 2, sehingga ordo matriks tersebut adalah 2x2.

Elemen penyusun baris kedua adalah -2,-9

B. Jenis-Jenis Matriks

1. Berdasarkan Banyak Baris dan Kolomnya

a. Matriks Baris

Matriks baris adalah matriks yang hanya memiliki 1 baris saja.

Contoh

b. Matriks Kolom

Matriks kolom adlah matriks yang hanya memiliki1 kolom, seperti

c. Matriks Bujur Sankar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya.

Contohnya

2. Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya

a. Matriks Diagonal

Matriks persegi yang semua elemenya adalah nol,kecuali elemen pada dagonalnya tidak bernilai 0 dinamakan matriks diagonal. Contoh :

b. Matriks Identitas

Matriks identitas terdiri dari 2 jenis, yaitu matriks identitas terhadap penjumlahan dan matriks identitas terhadap perkalian.

- Matriks O disebut matriks identits terhadap penjumlahan jika untuk sebarang matriks B, berlaku

. Dan hanya itu dipenuhi apabila matriks O adalah matriks nol, yaitu matriks yang semua elemennya bernilai 0. Untuk selanjutnya matriks identitas terhadap penjumlahan dinamakan matriks nol.

- Matriks I disebut matriks identitas terhadap perkalian jika untuk sebarang matriks A berlaku

. contoh matriks identitas adalah

c. Matriks Segitiga Atas dan Bawah

Matriks segitiga adalah matriks yang semua elemen dibawah atau diatas diagonalnya bernilai 0. Jika elemen bernilai 0 dibawah diagonal dinamakan matriks segitiga bawah sedangkan jika elemen bernilai 0 berada diatas diagonal dinamakan matriks segitiga ata. Contohnya sebagai berikut :

matriks segitiga bawah berordo 3x3

matriks segitiga atas berordo 3x3

C. Transpose dan Kesamaan Matriks

1. Transpose Suatu Matriks

Misalkan A adalah suatu matriks berordo mxn . dari matriks A ini kita dapat membentuk suatu matriks baru yang diperoleh dengan cara :

a. Mengubah baris ke-

matriks A menjadi kolom ke-j matriks baru dan

b. Mengubah kolom ke-j matriks A menjadi baris ke-

mstriks baru

Matriks baru yang dihasilka ini disebut matriks transpose dari matriks A yang dilambangkan dengan

. Dari perubahan diatas, ordo dari

Berdasarkan uraian diatas, apabila

maka transpose matriks dari matriks A adalah

2. Trace Matriks

Jumlah dari elemen peyusun diagonal.

3. Kesamaan Dua Matriks

Misalnya

adalah dua matriks yang berordo sama. Matriks A dikatakan sama dengan matirks B jia elemen-elemen yang seletak pada kedua matriks bernilai sama.

Contoh ;

Jika matriks

dan

serta

maka tentukan nilai x+y !

Jawab :

Sehingga nilai x=4 dan y=3. Jadi diperoleh nilai x+y adalah 4+3 =7

D. Operasi Aljabar pada Matriks

1. Penjumlahan Matriks

Jika matriks

merupakan dua buah matriks yang berordo mxn, maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan A+B adalah suatu matriks baru

yang juga sama berordo mxn dengan

2. Pengurangan Matrkiks

Jika matriks

merupakan dua buah matriks yang berordo mxn, maka jumlah kedua matriks tersebut yang dinotasikan A-B adalah suatu matriks baru

yang juga sama berordo mxn dengan

Sifat operasi penjumlahan dan pengurangan ,matriks adalah :

Jika matriks

adalah matriks-matriks yang berordo sama, maka dalam penjumlahan dan pengurangan matriks berlaku :

a. Sifat komutatif, artinya A+B = B+A

b. Siafat asosiatif,artinya (A+B)+C = A+(B+C)

c. Mempunyai elemen identitas terhadap operasi penjumlahan yaitu O sehingga untuk setiap matriks A berlaku A+O = O+A

d. Mempunyai invers terhadap penjumlahan, yaitu A+(-A) = (-A)+A = O

4. Perkalian Matriks

a. Perkalian Skalar dengan Suatu Matriks

Jika k adalah suatu bilangan skalar dan A=(a_ij) maka matriks kA=(ka_ij) yaitu suatu matriks kA yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks A dengan k. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau dibelakang matriks. Misalnya [C]=k[A]=[A]k dan (c_ij) = (ka_ij)

Contoh :

. Tentukan nilai dari 2B!

Penyelesaian :

Pada perkalian skalar berlaku hukum distributif dimana

b. Perkalian matriks dengan matriks

Dua matriks dapat dikalikan jika banyaknya kolom matriks sebelah kiri sama dengan banyaknya matriks sebelah kanan.

A_{m x n}. B_{p x q} = C_{m x q}

^{n = p}

Beberapa Hukum Perkalian Matriks :

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + AC

Hukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*C

Tidak Komutatif, A*B ¹ B*A

Jika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan

(i) A=0 dan B=0

(ii) A=0 atau B=0

(iii) A¹0 dan B¹0

Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

5. Invers dan Determinan Matriks

Jika matriks A =

, determinan dari matriks A dinotasikan det A atau

Invers matriks A dinyatakan dengan notasi

Jika ad – bc = 0, maka matriks tidak mempunyai invers disebut matriks singular.

Jika ad – bc

0, maka matriks mempunyai invers disebut matriks non singular.

Contoh :

Diketahui A =

, Tentukan determinan dan invers matriks A.

Det A = ad – bc

= 2.3 – 5.1

= 6 – 5

= 1

A^-1 =

BAB III
SIMPULAN DAN SARAN

A. Simpulan

Jenis-jenis matriks dibagi menjadi 2 kelompok yaitu berdasarkan banyak baris dan kolom penyusunnya serta berdasarkan banyak elemen penyusunnya. Disamping itu ada transpose dan trace matriks serta kesamaan suatu matriks. Operasi aljabar pada matriks ada penjumlahan, pengurangan, perkalian, invers dan determinan.

B. Saran

1. Dikarenakan makalah ini belum sempurna maka penulis meminta saran dari rekan-rekan dan bapak dosen agar makalah ini lebih sempurna.

2. Bagi pembaca semoga materi ini bermanfaat bagi kita sekalian.

Daftar pustaka

Herryanto,dkk..2009. Matematika kelas XII. Jakarta: Yudhistira

Munir,Rinaldi. 2010. Matematika Diskrit. Bandung: Informatika Bandung

My Blog

Rabu, 16 September 2015

matriks

BAB I
PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

B. Rumusan Masalah

C. Tujuan masalah

BAB II
PEMBAHASAN

A. Pengertian Matriks

B. Jenis-Jenis Matriks

1. Berdasarkan Banyak Baris dan Kolomnya

2. Berdasarkan Elemen-Elemen Penyusunnya

C. Transpose dan Kesamaan Matriks

1. Transpose Suatu Matriks

2. Trace Matriks

3. Kesamaan Dua Matriks

D. Operasi Aljabar pada Matriks

1. Penjumlahan Matriks

2. Pengurangan Matrkiks

4. Perkalian Matriks

5. Invers dan Determinan Matriks

BAB III
SIMPULAN DAN SARAN

A. Simpulan

B. Saran

Arsip Blog

Rabu, 16 September 2015

BAB I PENDAHULUAN

BAB I
PENDAHULUAN